Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點M，N，Q分別在PA，BD，PD上.

（1）若PM：MA＝BN：ND＝PQ：QD，求證：平面MNQ∥平面PBC.

（2）若Q滿足PQ：QD＝2，則M點滿足什么條件時，BM∥面AQC.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）M為PA的中點

【解析】

利用線面平行的判定定理證明MQ∥平面PBC, QN∥平面PBC,然后面面平行的判定定理即可證明;

連接AC，交BD于O，連接OQ，取PQ的中點G，連接BG，利用線面平行的判定定理可證BG∥平面AQC,取PA的中點M，連接GM,同理可證, GM∥平面AQC,再由面面平行的判定定理證明平面BGM∥平面AQC,再由面面平行的性質即可得證.

（1）證明：∵PM：MA＝PQ：QD.

∴QM∥AD，∵AD∥BC，∴QM∥BC，

∵ 平面PBC，BC平面PBC，

∴MQ∥平面PBC,

∵BN：ND＝PQ：QD.∴QN∥PB，

平面,平面,

QN∥平面PBC,

∵QM∩QN＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC；

（2）當M點為PA的中點時，BM∥面AQC

證明如下:連接AC，交BD于O，連接OQ，

取PQ的中點G，連接BG，則BG∥OQ，

∵OQ平面AQC，BG平面AQC，∴BG∥平面AQC，

取PA的中點M，連接GM，則GM∥AQ，

∵AQ平面AQC，GM平面AQC，∴GM∥平面AQC，

又BG∩GM＝G，∴平面BGM∥平面AQC，

則BM∥面AQC，此時M為PA的中點.