Question

（2013•靜安區一模）函數y=f（x），x∈D，其中D≠∅．若對任意x∈D，f（|x|）=|f（x）|，則稱y=f（x）在D內為對等函數．
（1）指出函數y=

x

，y=x³，y=2^x在其定義域內哪些為對等函數；
（2）試研究對數函數y=log_ax（a＞0且a≠1）在其定義域內是否是對等函數？若是，請說明理由；若不是，試給出其定義域的一個非空子集，使y=log_ax在所給集合內成為對等函數；
（3）若{0}⊆D，y=f（x）在D內為對等函數，試研究y=f（x）（x∈D）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）根據對等函數的定義，我們判斷y=

x

，y=x³是對等函數；
（2）要想一個函數不是“對等函數”關鍵是根據題中條件對任意x∈D，f（|x|）=|f（x）|，或舉出反例；
（3）對任意x∈D，對集合D分類討論f（x）與f（-x）的關系，最后給出結論．

解答：解：（1）y=

x

，y=x³是對等函數；（4分）
（2）研究對數函數y=log_ax，其定義域為（0，+∞），所以log_a|x|=log_ax，又|log_ax|≥0，所以當且僅當log_ax≥0時f（|x|）=|f（x）|成立．所以對數函數y=log_ax在其定義域（0，+∞）內不是對等函數．（6分）
當0＜a＜1時，若x∈（0，1]，則log_ax≥0，此時y=log_ax是對等函數；
當a＞1時，若x∈[1，+∞），則log_ax≥0，此時y=log_ax是對等函數；
總之，當0＜a＜1時，在（0，1]及其任意非空子集內y=log_ax是對等函數；當a＞1時，在[1，+∞）及其任意非空子集內y=log_ax是對等函數．（10分）
（3）對任意x∈D，討論f（x）與f（-x）的關系．
1）若D不關于原點對稱，如y=

x

雖是對等函數，但不是奇函數或偶函數；（11分）
2）若D={0}，則f（0）=|f（0）|≥0．當f（0）=0時，f（x）既是奇函數又是偶函數；當f（0）＞0時，f（x）是偶函數．（13分）
3）以下均在D關于原點對稱的假設下討論．
當x＞0時，f（|x|）=f（x）=|f（x）|≥0；
當x＜0時，f（|x|）=f（-x）=|f（x）|，若|f（x）|=f（x），則有f（-x）=f（x）；此時，當x＞0時，-x＜0，令-x=t，則x=-t，且t＜0，由前面討論知，f（-t）=f（t），從而f（x）=f（-x）；
綜上討論，當x＜0時，若f（x）≥0，則f（x）是偶函數．（15分）
若當x＜0時，f（x）≤0，則f（|x|）=f（-x）=|f（x）|=-f（x）；此時，當x＞0時，-x＜0，令-x=t，則x=-t，且t＜0，由前面討論知，f（-t）=-f（t），從而f（x）=-f（-x）；
若f（0）=0，則對任意x∈D，都有f（-x）=-f（x）．
綜上討論，若當x＜0時，f（x）≤0，且f（0）=0，則f（x）是奇函數．若f（0）≠0，則f（x）不是奇函數也不是偶函數．（18分）

點評：本小題主要考查進行簡單的合情推理、對數函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．要想判斷f（x）為“對等函數”，要經過嚴密的論證說明f（x）滿足“對等函數”的概念，但要判斷f（x）不為“對等函數”，僅須要舉出一個反例即可．