Question

【題目】已知四棱柱的所有棱長都為2，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）要證平面平面，轉化為證明平面，通過證明及可得；

（2）連接，由（1）可得為直線與平面所成的角，在中求角的正弦值.另外可以用向量法求線面角.

（1）證明：設與的交點為，連接，

因為，，，

所以，

所以，

又因為是的中點，所以，

另由且，

所以平面，

而平面，所以平面平面.

（2）（法一）連接，由（1）知平面，

所以為直線與平面所成的角，

在菱形中，，

故，

所以

又因為，所以，

所以.

（法二）過作直線平面，分別以、、為、、軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

依題意，得，，，，，

所以，，，

設平面的法向量為，

所以，令，則，即，

所以，

即直線與平面所成的角的正弦值為.