Question

空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，則BC與AD的位置關系是

 

；四邊形EFGH是

 

形；當

 

時，四邊形EFGH是菱形；當

 

時，四邊形EFGH是矩形；當

 

時，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

分析：利用反證法得到BC，AD是異面直線；利用三角形的中位線平行且等于底邊的一半判斷出EFGH的形狀及有其形狀判斷出AC，BD的位置關系．

解答：解：假設BC，AD是共面直線，則A，B，C，D共面；所以四邊形ABCD是平面四邊形與已知矛盾故BC，AD是異面直線
∵E，F，分別是AB，BC的中點，∴EF∥BD；EF=

1

2

BD；同理GH∥BD；GH=

1

2

BD；所以四邊形EFGH是平行四邊形
若EFGH是菱形則有EH=EF；所以BD=AC
若EFGH是矩形，則EH⊥EF；所以BDAC
若四邊形是正方形則四邊形是矩形且是菱形則
BD=AC，BD⊥AC
故答案為：異面直線；平行四邊形；BD=AC；BD⊥AC；BD=AC且BD⊥AC

點評：證明或判斷兩直線是異面直線常用反證法、三角形的中位線平行且等于底邊的一半．