Question

（本小題滿分14分）
已知位于軸右側的圓C與相切于點P（0,1），與軸相交于點A、B，且被軸分成的兩段弧之比為1﹕2（如圖所示）.
（I）求圓C的方程；
（II）若經過點（1,0）的直線與圓C相交于點E、F，且以線段EF為直徑的圓恰好過圓心C，求直線的方程.

Answer 1

解：（I）因為圓C位于軸右側，且與相切于點P（0,1），
所以圓心C在直線上.
又圓C被軸分成的兩段弧之比為1﹕2，所以.  ……………………….3分
所以PC=AC=BC=2，圓心C的坐標為（2,1）.
所求圓C的方程為.   ……………………………………………6分（II）①若直線斜率存在，設直線的方程為，即.
因為線段EF為直徑的圓恰好過圓心C，所以ECFC.
因此.        …………………………………………………………………8分
圓心C（2,1）到直線的距離.
由得.   
故所求直線的方程為，即.    ………………………11分
②若直線斜率不存在，此時直線的方程為，點E、F的坐標分別為、，可以驗證不滿足條件.       …………………………………………..13分
故所求直線的方程為.  ……………………………………14分

解析