Question

【題目】已知函數．

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若曲線在點處的切線與有且只有一個公共點，求正數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，在遞增，在遞減；當時， 在遞增；當時，在遞減，在遞增．（2）或．

【解析】

（1）根據函數解析式，求得導函數，并對分類討論，即可判斷函數的單調性；

（2）根據切點橫坐標，代入方程求得切點坐標，結合導數的幾何意義即可求得切線方程；聯立直線方程與函數解析式，由切線與有且只有一個公共點可知聯立后的方程有且僅有一個根，構造函數，并求得導函數，對分類討論，即可判斷函數的單調性和最值，進而求得正數的取值范圍．

（1）函數，定義域為，

當時，在上恒成立，在遞增；

當時，在上恒成立，在遞增；

當時，時，，在遞減，

時，，在遞增；

當時，時，，在遞增，

時，，在遞減；

綜上所述，當時，在遞增，在遞減；

當時， 在遞增；

當時，在遞減，在遞增．

（2）當時，代入函數解析式可得，則切點坐標為；

代入導函數可得切線的斜率為，

由點斜式可得切線方程為，化簡可得，

則整理可得，

令，

由題意可知函數有且只有一個零點，，

1 當時，由，解得.

且當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

所以是唯一的極小值點，也是最小值點．

且，故滿足題意．

2 當時．由解得，．

（1）當時，，單調遞增，又，

所以滿足題意．

（2）當時，當，，單調遞減，所以．

又存在，所以，

．

在內，存在零點，所以至少有兩個零點，不合題意．

當時，在上，，單調遞減，所以．

又存在，并注意到，，

，所以在內存在零點，

從而至少有兩個零點，不合題意．

綜上所述，或．