Question

【題目】已知定義在（0，+∞）上的函數f（x），滿足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且當x＞1時，有f（x）＞0．
①求證：f（ ）=f（m）﹣f（n）；
②求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
③比較f（ ）與 的大小．

Answer 1

【答案】證明：①∵f（m）=f（n ）=f（ ）+f（n），
∴f（ ）=f（m）﹣f（n）；
②任取x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 則 ，
∵x1＜x2 ， ∴ ，
∴ ，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．
③f（ ）﹣ = f（ ）+ f（ ）﹣
= （f（ ）﹣f（m））+ （f（ ）﹣f（n））
= f（ ）+ f（ ）= f（ ），
∵
故
【解析】①利用抽象函數的關系進行遞推即可．②根據函數單調性的定義，利用定義法進行證明即可，③利用作差法結合抽象函數的關系進行證明即可．