Question

【題目】如圖所示，在等腰梯形中，，，，點為的中點.將沿折起，使點到達的位置，得到如圖所示的四棱錐，點為棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）若平面平面，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接，交于點，連接，易知底面是平行四邊形，則為中點，又是中點，可知，則結論可證.

（2）先證明是等腰直角三角形，由條件中的面面垂直可得平面，則由（1）可知平面，則為三棱錐的高，底面的面積容易求得，根據公式求三棱錐的體積.

（1）在平面圖中，

因為且，

所以四邊形是平行四邊形；

在立體圖中，

連接，交于點，連接，所以點是的中點，又因為點為棱的中點，

所以，因為平面，平面，

所以平面；

（2）在平面圖中，

因為是平行四邊形，所以，因為四邊形是等腰梯形，

所以，所以，因為，所以；

在立體圖中，，

又平面平面，且平面平面，平面

所以平面，

由（1）知，所以平面，

在等腰直角三角形中，因為，所以，

所以，又，

所以.