Question

如圖，多面體P-ABCD的直觀圖及三視圖如圖所示，E，F分別為PC、BD的中點
（1）求證：EF∥平面PAD
（2）求證：平面PDC⊥平面PAD
（3）求V_P-ABCD

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥平面PAD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PAD內一直線平行，根據中位線定理可知EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面PAD⊥平面PDC，根據面面垂直的判定定理可知在平面PDC內一直線與平面PAD垂直，而根據題意可得CD⊥平面PAD，CD?平面PAD，滿足定理所需條件；
（3）點P到平面ABCD的距離為1，然后利用錐體的體積公式進行求解即可．

解答：證明：由多面體P-ABCD的三視圖知，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，
側面PAD是等腰三角形，PA=PD=

2

，且平面PAD⊥平面ABCD（3分）
（1）連接AC，則F是AC的中點，在△CPA中，EF∥PA，且
PA?平面PAD，EF?平面PAD
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，其交線為AD，
CD?平面ABCD
又　CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PAD
∴平面PAD⊥平面PDC（9分）
（3）由（1）知點P到平面ABCD的距離為1，則V_P-ABCD=

1

3

×2×2×1=

4

3

（12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定和面面垂直的判定，同時考查了幾何體的體積的度量和論證推理能力，屬于中檔題．