Question

【題目】若函數f（x）=a（x﹣2）ex+lnx+ 在（0，2）上存在兩個極值點，則a的取值范圍為（ ）
A.（﹣∞，﹣ ）
B.（﹣ ， ）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，﹣ ）
D.（﹣∞，﹣ ）∪（﹣﹣ ，﹣ ）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數f（x）=a（x﹣2）ex+lnx+ 在（0，2）上存在兩個極值點， 等價于f′（x）=a（x﹣1）ex+ ﹣ 在（0，2）上有兩個零點，
令f′（x）=0，則a（x﹣1）ex+ =0，
即（x﹣1）（aex+ ）=0，
∴x﹣1=0或aex+ =0，
∴x=1滿足條件，且aex+ =0（其中x≠1且x∈（0，2））；
∴a=﹣ ，其中x∈（0，1）∪（1，2）；
設t（x）=exx2 ， 其中x∈（0，1）∪（1，2）；
則t′（x）=（x2+2x）ex＞0，
∴函數t（x）是單調增函數，
∴t（x）∈（0，e）∪（e，4e2），
∴a∈（﹣∞，﹣ ）∪（﹣ ，﹣ ）．
故選：D．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)．