Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點，當時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在已知極坐標方程兩邊同時乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲線C的直角坐標方程；

（2）聯立直線l的參數方程與x2＝4y由韋達定理以及參數的幾何意義和弦長公式可得弦長與已知弦長相等可解得．

解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中兩邊同時乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，

∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，

所以曲線C的直角坐標方程為：x2＝4y．

（2）聯立直線l的參數方程與x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，

設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，

由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，

t1+t2＝，由|PM|＝，

所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），

所以sinα＝．