Question

（08年安徽皖南八校聯考）（本小題滿分14分）

如圖所示，邊長為2的等邊△所在的平面垂直于矩形所在的平面，，為的中點．

（1）證明：⊥；

（2）求二面角的大小；

（3）求點到平面的距離．

 

Answer 1

解析:（法一）（1）證明：取中點，連接、．

    ∵△是等邊三角形，∴⊥，

    又平面⊥平面，

    ∴⊥平面，∴在平面內射影是，                   

………………………2分

    ∵=2，，，,

    ∴△∽△，∴．

 

又°，∴°，

    ∴°，∴⊥， …………………………………………………4分

    由三垂線定理知⊥  …………………………………………………………5

（2）解：由⊥，⊥得是二面角的平面角                                                                   …………6分

    在Rt△中，，，…8分

    ∴，………………………………………………………………9分

    °，∴二面角的大小是45° ……………………………10分

 

（3）解：設到平面的距離距離是，則，                                                            ………………11分

，，

．又，，

∴=，∴點到平面的距離距離是 ……………………………14分

 

 

 

（方法二）證明：取中點，連接，

    ∵△是等邊三角形，∴⊥，

    又∵平面⊥平面，

    ∴⊥平面，又是矩形，

∴可建立如圖所示的空間直角坐標系 …………………………………………………2分

    ∵=2，，

    ∴（，-1，0），（，1，0），（0，0，），……………………3分

    ∴（-，2，0），（，1，-），∴=

         ………………………………………………………………………………………4分

∴⊥，∴⊥  ………………………………………………………5分

（2）解：由（1）知平面的法向量m=（0，0，）……………………6分

    設平面的法向量n =（，，），則n⊥，n⊥，

    ∴，，

    取，得， ………………………………………………………8分

    n =（1，，），，

    ∴二面角的大小是45°  ………………………………………………10分

（3）解：（0，―1，0），，（0，-1，-） ……………………………11分

又n =（1，，），∴………………………………………13分

∴點到平面的距離距離是． …………………………………………14分