Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為， ，離心率為，且過點．

（）求橢圓的標準方程．

（）、、、是橢圓上的四個不同的點，兩條都不和軸垂直的直線和分別過點， ，且這條直線互相垂直，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（）（）見解析

【解析】試題分析：

（1）由離心率可得，故橢圓的方程為，將點的坐標代入方程可得， ，從而可得橢圓的方程。（2）①當直線的斜率為0時， 為長軸長， 為通徑長；②當直線的斜率不為0時，設出直線的方程，運用橢圓的弦長公式可得和，然后驗證即可得到結論。

試題解析：

（）∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 橢圓的方程為，

又點在橢圓上，

∴

解得，

∴ ，

∴ 橢圓的方程為．

（）由（1）得橢圓的焦點坐標為， ，

①當直線的斜率為0時，則,

∴ .

②當直線的斜率為0時，設其，

由直線與互相垂直，可得直線，

由消去y整理得，

設， ，

則， ，

∴ ，

同理，

∴ ．

綜上可得為定值。