Question

【題目】已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，P到焦點(diǎn)F2的距離的最大值為，且△PF1F2的最大面積為1．

（Ⅰ）求橢圓C的方程．

（Ⅱ）點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過點(diǎn)F2且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．對(duì)于任意的是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）定值為

【解析】

（Ⅰ）利用P到焦點(diǎn)F2的距離的最大值為，且△PF1F2的最大面積為1，結(jié)合a2＝b2+c2，求出a，c，b可得橢圓的方程．

（Ⅱ）利用直線與橢圓方程，通過韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)得到定值即可．

（I）由題意可知：a+c＝，×2c×b＝1，且a2＝b2+c2，

∴a2＝2，b2＝1，c2＝1，∴所求橢圓的方程為：.

（II）設(shè)直線L的方程為：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4kx+2（k2﹣1）＝0

則

∴對(duì)于任意的為定值．