【題目】已知函數
.
（1）若
，求
的單調性；
（2）若在區間
上有零點，求
的取值范圍.
【答案】（1）
的單調遞增區間為
，
，單調遞減區間為
；（2）
.
【解析】
（1）求出導函數，分別令
，
解不等式即可求解.
（2）求出函數的導函數，分類討論
的取值范圍，討論函數的單調性；當
時，
在區間
上單調遞增，當
時，在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增，當
時，在區間上單調遞減，通過單調性求出函數的最值，進而可確定是否存在零點.
（1）因為
，所以
，所以
.
令，得
或
；
令，得
.
故的單調遞增區間為，
，單調遞減區間為
.
（2）由函數
，則
當時，在區間上單調遞增，
則
，
，解得
；
當時，即
時，
在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，且
則，解得
；
當時，即
時，在區間上單調遞減，
因為
，所以在區間上不存在零點，即，不符合題意.
綜上，的取值范圍是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程是
（t是參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
。
（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若兩曲線交點為
，求
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，①已知點
，
，
為曲線
上任一點，
到點
的距離和到點
的距離的比值為2；②圓經過
，
，且圓心在直線
上.從①②中任選一個條件.
（1）求曲線的方程；
（2）若直線
被曲線截得弦長為2，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量
(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.
（1）求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；
（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量
限制，并有如下關系:
年入流量 |
|
|
|
發電量最多可運行臺數 | 1 | 2 | 3 |
若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某幼兒園舉辦“yue”主題系列活動——“悅”動越健康親子運動打卡活動，為了解小朋友堅持打卡的情況，對該幼兒園所有小朋友進行了調查，調查結果如下表：
打卡天數 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
男生人數 | 3 | 5 | 3 | 7 | 2 |
女生人數 | 3 | 5 | 5 | 7 | 3 |
（1）根據上表數據，求該幼兒園男生平均打卡的天數；
（2）若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某幼兒園舉辦“yue”主題系列活動——“悅”動越健康親子運動打卡活動，為了解小朋友堅持打卡的情況，對該幼兒園所有小朋友進行了調查，調查結果如下表：
打卡天數 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
男生人數 | 3 | 5 | 3 | 7 | 2 |
女生人數 | 3 | 5 | 5 | 7 | 3 |
（1）根據上表數據，求該幼兒園男生平均打卡的天數；
（2）若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
滿足
，
，
為非零常數.
（1）是否存在實數，使得數列成為等差數列或等比數列，若存在，找出所有的，及對應的通項公式；若不存在，說明理由；
（2）當
時，記
，證明：數列
是等比數列；
（3）求數列的通項公式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，
，
，
，
.
（1）求證：
平面FBC；
（2）線段ED上是否存在點Q，使平面
平面QBC？證明你的結論.
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