Question

申請(qǐng)某種許可證，根據(jù)規(guī)定需要通過統(tǒng)一考試才能獲得，且考試最多允許考四次．設(shè)X表示一位申請(qǐng)者經(jīng)過考試的次數(shù)，據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析知X的概率分布如下：

X	1	2	3	4
P	0.1	x	0.3	0.1

（Ⅰ）求一位申請(qǐng)者所經(jīng)過的平均考試次數(shù)；
（Ⅱ）已知每名申請(qǐng)者參加X次考試需繳納費(fèi)用Y=100X+30（單位：元），求兩位申請(qǐng)者所需費(fèi)用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，4位申請(qǐng)者中獲得許可證的考試費(fèi)用低于300元的人數(shù)記為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由X的概率分布列的性質(zhì)，先求x的值，再計(jì)算其期望，即可求得一位申請(qǐng)者所經(jīng)過的平均考試次數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)兩位申請(qǐng)者均經(jīng)過一次考試為事件A，有一位申請(qǐng)者經(jīng)歷兩次考試一位申請(qǐng)者經(jīng)歷一次考試為事件B，兩位申請(qǐng)者經(jīng)歷兩次考試為事件C，有一位申請(qǐng)者經(jīng)歷三次考試一位申請(qǐng)者經(jīng)歷一次考試為事件D，因?yàn)榭荚囆杞毁M(fèi)用Y=100X+30，兩位申請(qǐng)者所需費(fèi)用的和小于500元的事件為A∪B∪C∪D，由此可求兩位申請(qǐng)者所需費(fèi)用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）一位申請(qǐng)者獲得許可證的考試費(fèi)用低于300元的概率為

3

5

，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可得到的分布列．

解答：解：（Ⅰ）由X的概率分布列可得0.1+x+0.1+0.3=1，∴x=0.5．
∴E（X）=0.1×1+0.5×2+0.3×3+0.1×4=2.4．
所以一位申請(qǐng)者所經(jīng)過的平均考試次數(shù)為2.4次．
（Ⅱ）設(shè)兩位申請(qǐng)者均經(jīng)過一次考試為事件A，有一位申請(qǐng)者經(jīng)歷兩次考試一位申請(qǐng)者經(jīng)歷一次考試為事件B，兩位申請(qǐng)者經(jīng)歷兩次考試為事件C，有一位申請(qǐng)者經(jīng)歷三次考試一位申請(qǐng)者經(jīng)歷一次考試為事件D．
因?yàn)榭荚囆杞毁M(fèi)用Y=100X+30，兩位申請(qǐng)者所需費(fèi)用的和小于500元的事件為A∪B∪C∪D．
∴P（A∪B∪C∪D）=0.1×0.1+2×0.5×0.5+0.3×0.3+2×0.1×0.3=0.61
所以兩位申請(qǐng)者所需費(fèi)用的和小于500元的概率為0.61．
（Ⅲ）一位申請(qǐng)者獲得許可證的考試費(fèi)用低于300元的概率為

3

5

，ξ的可能取值為0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=(

2

5

)4=

16

625

，P（ξ=1）=

C

1 4

(

3

5

)(

2

5

)3=

96

625

，P（ξ=2）=

C

2 4

(

3

5

)2(

2

5

)2=

216

625

，
P（ξ=3

C

3 4

(

3

5

)3(

2

5

) =

216

625

，P（ξ=4）=(

3

5

)4=

81

625

．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	16 625	96 625	216 625	216 625	81 625

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查變量的概率分布列，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．