Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延長A1C1至點P，使C1P=A1C1 ， 連接AP交棱CC1于點D． （Ⅰ）求證：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：以A1為原點，A1B，A1C，A1A分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立坐標系， 則A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（Ⅰ）在△PAA1中，C1D= AA1，則D（0，1， ）
∴ =（1，0，1）， =（0，1， ）， =（﹣1，2，0）
設平面BDA1的一個法向量為 =（a，b，c）
則
令c=﹣1，則 =（1， ，﹣1）
∵ =1×（﹣1）+ ×2+（﹣1）×0=0
∴PB1∥平面BDA1
（Ⅱ）由（I）知平面BDA1的一個法向量 =（1， ，﹣1）
又 =（1，0，0）為平面AA1D的一個法向量
∴cos＜ ， ＞= = =
故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為
【解析】以A1為原點，A1B，A1C，A1A分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立坐標系，則我們易求出各個點的坐標，進而求出各線的方向向量及各面的法向量．（I）要證明PB1∥平面BDA1 ， 我們可以先求出直線PB1的向量，及平面BDA1的法向量，然后判斷證明這兩個向量互相垂直（II）由圖象可得二面角A﹣A1D﹣B是一個銳二面角，我們求出平面AA1D與平面A1DB的法向量，然后求出兩個法向量夾角的余弦值，得到結論．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面平行的性質，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為：線面平行則線線平行即可以解答此題．