Question

【題目】設橢圓：（）,左、右焦點分別是、且,以為圓心,3為半徑的圓與以為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓上的點

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓：,為橢圓上任意一點,過點的直線交橢圓于兩點,射線交橢圓于點

①求的值；

②令,求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）運用圓與圓的位置關系,和的關系,計算即可得到,進而得到橢圓的方程；

（2）求得橢圓的方程，①設，，求得的坐標，分別代入橢圓的方程，化簡整理,即可得到所求值；

②設，將直線代入橢圓的方程，運用韋達定理，三角形的面積公式，將直線代入橢圓的方程，由判別式大于0，可得的范圍,結合二次函數的最值,，的面積為，即可得到所求的最大值.

解：（1）由題意可知，，可得，

又

,

,

即有橢圓的方程為；

（2）由（1）知橢圓的方程為,

①設,,由題意可知,

,由于,

代入化簡可得,

所以,即；

②設,,將直線代入橢圓的方程,可得

,由,可得,③

則有,,

所以,

由直線與軸交于,

則的面積為

設,則,

將直線代入橢圓的方程,

可得,

由可得,④

由③④可得,則在遞增，即有取得最大值，

即有，即，取得最大值，

由①知，的面積為，

即面積的最大值為.