Question

【題目】數列分別滿足：，其中，其中，設數列前n項和分別為.

（1）若數列為遞增數列，求數列的通項公式；

（2）若數列滿足：存在唯一的正整數k（），使得，則稱為“k墜點數列”

（Ⅰ）若數列為“6墜點數列"，求；

（Ⅱ）若數列為“5墜點數列”，是否存在“p墜點數列”，使得，若存在，求正整數m的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（1）由兩數列為遞增數列，結合遞推式可得，，，，由此可得數列為等差數列，數列從第二項起構成等比數列，然后利用等差數列和等比數列的通項公式求得答案；

（2）（Ⅰ）根據題目條件判斷：數列必為1，3，5，7，5，7，9，11，，即前4項為首項為1，公差為2的等差數列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數列，求解即可．

（Ⅱ）運用數列為“墜點數列”且，綜合判斷數列中有且只有兩個負項．假設存在正整數，使得，顯然，且為奇數，而中各項均為奇數，可得必為偶數．再討論，，，證明，求出數列即可．

解：（1）數列，都為遞增數列，

由遞推式可得，，，，

則數列為等差數列，數列從第二項起構成等比數列．

，；

（2）（Ⅰ）數列滿足：存在唯一的正整數，使得，且，

數列必為1，3，5，7，5，7，9，11，，

即前4項為首項為1，公差為2的等差數列，從第5項開始為首項5，公差為2的等差數列，

故；

（Ⅱ），即，

，

而數列為“墜點數列”且，

數列中有且只有兩個負項．

假設存在正整數，使得，顯然，且為奇數，

而中各項均為奇數，

必為偶數．

由，

當時，，

當時，，故不存在正整數使得；

當時，，

顯然不存在正整數使得；

當時，．

當，才存在正整數使得；

即．

當時，，

構造：為1，3，1，3，5，7，9，，為，2，4，8，，32，64，

此時，．

，對應的，．