Question

【題目】已知函數，其中.

（1）判斷函數的單調性；

（2）設，是的兩個零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在區間上單調遞減；在區間上單調遞增（2）證明見解析

【解析】

（1）求出函數的定義域，求導可得，令，可知函數在上單調遞增，又，由此即可函數的單調性情況；

（2）構造函數的圖象關于直線對稱的曲線為，可得，再分及討論即可得證.

（1）函數的定義域為，

，.

記，，

，

故函數在上單調遞增，又.

所以當時，，故在區間上單調遞減；

當時，，故在區間上單調遞增.

（2）由（1）知，設，所以，.

設函數的圖象關于直線對稱的曲線為，

記為圖象上的任意一點，它關于直線的對稱點為，

則，

由，，則有.

（1）當時，顯然有；

（2）當時，記，

則，即，

所以當時，，

因為，，且函數在區間單調遞減，

所以有，得.

綜上所述，.