Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程為，點的坐標為.

（1）求過點且與圓相切的直線方程；

（2）過點任作一條直線與圓交于不同兩點，，且圓交軸正半軸于點，求證：直線與的斜率之和為定值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）詳見解析

【解析】

（1）當直線的斜率不存在時，直線滿足題意，當直線的斜率存在時，設切線方程為，圓心到直線的距離等于半徑，列式子求解即可求出，即可得到切線方程；（2）設直線：，代入圓的方程，可得到關于的一元二次方程，設，，且，直線與的斜率之和為，代入根與系數關系整理可得到所求定值。

（1）當直線的斜率不存在時，顯然直線與圓相切

當直線的斜率存在時，設切線方程為，

圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，切線方程為：，

綜上，過點且與圓相切的直線的方程是或

（2）圓：與軸正半軸的交點為，依題意可得直線的斜率存在且不為0，設直線：，代入圓：，

整理得：.

設，，且

∴，

∴直線與的斜率之和為

為定值.