Question

設函數f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經過點(

π

2

，1)．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函數的最小正周期和單調遞增區間
（Ⅱ）若f(

π

12

)=

2

sinA，其中A是面積為

3 3

2

的銳角△ABC的內角，且AB=2，求AC和BC的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經過點(

π

2

，1)，求出m，利用兩角和的正弦函數化為一個角的一個三角函數的形式，即可得到函數的解析式，然后求出周期和單調增區間．
（Ⅱ）利用f(

π

12

)=

2

sinA，求出sinA，l利用面積為

3 3

2

，AB=2，求AC，余弦定理求出BC的長．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=msinx+cosx（x∈R）的圖象經過點(

π

2

，1)
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，∴m=1，∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，∴函數的最小正周期T=2π
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

3π

4

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

4

，
∴y=f（x）的調遞增區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

](k∈Z)．

（Ⅱ）因為f(

π

12

)=

2

sinA即f(

π

12

)=

2

sin

π

3

=

2

sinA，
∴sinA=sin

π

3

，
∵A是面積為

3 3

2

的銳角△ABC的內角，∴A=

π

3

，
∵S△ABC=

1

2

AB•ACsinA=

3

2

3

∴AC=3
由余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2•AB•ACcosA=7

點評：本題是基礎題，考查三角函數的正確、單調性、余弦定理的應用，考查計算能力，常考題型．