Question

平面上有兩個向量e₁=(1,0),e₂=(0,1),今有動點P從P₀(-1,2)開始沿著與向量e₁+e₂相同的方向做勻速直線運動,速度為|e₁+e₂|；另一動點Q從點Q₀(-2,-1)出發,沿著與向量3e₁+2e₂相同的方向做勻速直線運動,速度為|3e₁+2e₂|.設P、Q在時刻t=0秒時分別在P₀、Q₀處,則當⊥時,用了多長時間?

Answer 1

思路解析:此題考查兩向量垂直的充要條件及向量的坐標運算,新穎之處在于與物理中的運動聯系在一起.由題意知,向量是確定的,動點P、Q分別沿e₁+e₂、3e₁+2e₂的方向勻速運動,寫出時刻t時點P、Q的位置,用t表示.根據⊥的充要條件建立方程,可求出t的值.

解:由已知P₀(-1,2),Q₀(-2,-1)可得=(-1,-3),

∵3e₁+2e₂=(3,2),

∴|3e₁+2e₂|=.

∴當t時刻時,點P的位置為(-1+t,2+t),點Q的位置為(-2+3t,-1+2t).

∴=(-1+2t,-3+t).

∵⊥,∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.

解得t=2,

∴用了2秒鐘, ⊥.