Question

【題目】設橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，右焦點為，已知．

（1）證明：．

（2）已知直線的傾斜角為，設為橢圓上不同于，的一點，為坐標原點，線段的垂直平分線交于點，過且垂直于的直線交軸于點，若，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）y（x﹣2）．

【解析】

（1）直接由得， 的關系，再由，，的關系證得結論；

（2）由直線的傾斜角可得，的關系，再由（1）可得橢圓的標準方程，寫出，，的坐標及線段的中垂線方程，設直線，求出的坐標，由題意求出的坐標，再由得直線的方程．

解：（1）證明：因為，所以，即，兩邊平方得：，而，

；

（2）因為直線的傾斜角為，所以，，又由（1）得：，，

解得：，，，所以橢圓的方程為：；所以可得：，，

，設的坐標，設直線，線段的中垂線為，

所以由題意得，，直線的方程：，令得點坐標，

聯立直線與橢圓的方程，整理得：，，

即，，所以點，，，，

因為，，解得：，

所以直線的方程為：．