Question

已知f(x)=2cos(ωx+θ)，(x∈R，0≤θ≤

π

2

)，g（x）=e^x-x²+2ax-1，（x∈R，a為實數），y=f（x）的圖象與y軸交于點(0，

3

)，且在該點處切線的斜率為-2．
（I）若點A(

π

2

，0)，點P是函數y=f（x）圖象上一點，Q（x₀，y₀）是PA的中點，當y0=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]時，求x₀的值；
（II）當a＞1+ln2時，試問：是否存在曲線y=f（x）與y=g（x）的公切線？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）根據在該點(0，

3

)處切線的斜率為-2建立等式關系可求出ω、θ從而求出f（x），利用中點坐標公式建立等式關系，即可求出x₀的值；
（II）先求出曲線f（x）的切線斜率的取值范圍，然后求出曲線y=g（x）的切線斜率的取值范圍，看其是否有交集，從而判定是否存在曲線y=f（x）與y=g（x）的公切線．

解答：解：（I）由題意可知

f′(0)=-2ωsinθ=-2 2cosθ= 3 0≤θ≤ π 2

可得：θ=

π

6

，ω=2
即f(x)=2cos(2x+

π

6

)
設P點坐標為(t，2cos(2t+

π

6

))，已知A(

π

2

，0)
所以Q（x₀，y₀）滿足

x0= t+ π 2 2 y0=cos(2t+ π 6 )

又由y0=

3

2

，x0∈[

π

2

，π]得到t=π或t=

5π

6

所以x0=

3π

4

或x0=

2π

3

（II）因為f′(x)=-4sin(2x+

π

6

)所以曲線f（x）的切線斜率k₁∈[-4，4]
又g′（x）=e^x-2x+2a
∴g″（x）=e^x-2
∴令g″（x）=0可得x=ln2處g′（x）取到最小值g′（ln2）=e^ln2-2ln2+2a＞2-2ln2+2+2ln2=4
所以曲線y=g（x）的切線斜率k₂＞4，故不存在兩曲線的共切線．

點評：本題主要考查了利用導數研究在某點處的切線，以及導數的幾何意義和公切線問題，屬于中檔題．