Question

【題目】設函數，其中，曲線過點，且在點處的切線方程為.

1）求， 的值；

2）證明：當時， ；

3）若當時， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（I）根據題意，將點 代入函數 ，對函數求導，將點 代入求解即可.

（II）設 ，對 求導得，對求導得，根據的正負性得出的增減性，根據的正負性得出的增減性，得出結論。

（III）設 ，對 求導得，根據（II）的結論得出，并求得 ，分情況討論 和，求出 的取值范圍即可.

試題解析：（1） ，

，

（2），

設， ，

， 在上單調遞增，

， 在上單調遞增， ，

.

（3）設， ，

由（2）中知， ，

，

當，即時， ， 在單調遞增， ，成立.

當，即時， ，

，令，得，

當時， ， 在上單調遞減， ，不成立，

綜上， .