Question

【題目】設.求最大的整數，使得集合S有k個互不相同的非空子集，具有性質：對這k個子集中任意兩個不同子集，若它們的交非空，則它們交集中的最小元素與這兩個子集中的最大元素均不相同.

Answer 1

【答案】

【解析】

對有限非空實數集A，用與分別表示集合A的最小元素與最大元素.

考慮集合S的所有包含1且至少有兩個元素的子集.

注意到，，

故.

于是，這樣的子集一共個.

顯然滿足要求.

接下來證明：當時，不存在滿足要求的k個子集.

用數學歸納法證明：對整數，在集合的任意個不同非空子集中，存在兩個子集，滿足，且. ①

顯然，只需對的情形證明上述結論.

當時，將的全部七個非空子集分成三組，

第一組：｛3｝，｛1，3｝，｛2，3｝；

第二組：｛2｝，｛1，2｝；

第三組：｛1｝，｛1，2，3｝.

由抽屜原理，知任意四個非空子集必有兩個在同一組中， 取同組中的兩個子集分別記為，在排在前面的記為，則滿足結論①.

假設結論在時成立.考慮時的情形.

若中至少有個子集不含，對其中的個子集用歸納假設，知存在兩個子集滿足結論①.

若至多有-1個子集不含，則至少有+1個子集含，將其中+1個子集均去掉，得到｛1，2，…，n｝的+1個子集.

由于｛1，2，…，n｝的全體子集可分為組，每組兩個子集互補，故由抽屜原理，知在上述+1個子集中一定有兩個屬于同一組，即互為補集.

因此，相應地有兩個子集滿足，這兩個集合顯然滿足結論①.

于是，時結論成立.

綜上，.