Question

【題目】在圓上任取一點，過點作軸的垂線段， 為垂足，點在線段上，且，點在圓上運動。

(1)求點的軌跡方程；

(2)過定點的直線與點的軌跡交于兩點，在軸上是否存在點，使為常數，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）由轉移法求動點軌跡：先設M(x，y)，P(x0，y0)，根據條件得x0＝x，y0＝y.再代入已知動點軌跡，化簡即得點M的軌跡方程（2）以算探索存在性問題：直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，根據向量數量積坐標表示可得＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2

，利用直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理可得關于k的關系式，而由題意得與k無關的常數，所以解得n，即得點的坐標

試題解析：(1)設P(x0，y0)，M(x，y)，則x0＝x，y0＝y.

∵P(x0，y0)在x2＋y2＝4上，∴x＋y＝4.

∴x2＋2y2＝4，即＋＝1.

點M的軌跡方程為＋＝1(x≠±2)．

(2)假設存在．當直線AB與x軸不垂直時，

設直線AB的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，

聯立方程組

整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－4＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

∴·＝(x1－n，y1)·(x2－n，y2)

＝(1＋k2)x1·x2＋(x1＋x2)(k2－n)＋n2＋k2

＝(1＋k2)×＋(k2－n)×＋k2＋n2

＝＋n2

＝＋n2

＝ (2n2＋4n－1)－.

∵·是與k無關的常數，∴2n＋＝0.

∴n＝－，即N，此時·＝－.

當直線AB與x軸垂直時，若n＝－，則·＝－.

綜上所述，在x軸上存在定點N，使·為常數．