Question

給定一個n項的實數列，任意選取一個實數c，變換T（c）將數列a₁，a₂，…，a_n變換為數列|a₁-c|，|a₂-c|，…，|a_n-c|，再將得到的數列繼續實施這樣的變換，這樣的變換可以連續進行多次，并且每次所選擇的實數c可以不相同，第k（k∈N^*）次變換記為T_k（c_k），其中c_k為第k次變換時選擇的實數．如果通過k次變換后，數列中的各項均為0，則稱T₁（c₁），T₂（c₂），…，T_k（c_k）為“k次歸零變換”
（Ⅰ）對數列：1，2，4，8，分別寫出經變換T₁（2），T₂（3），T₃（4）后得到的數列；
（Ⅱ）對數列：1，3，5，7，給出一個“k次歸零變換”，其中k≤4；
（Ⅲ）證明：對任意n項數列，都存在“n次歸零變換”．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據新定義，可計算經變換T₁（2），T₂（3），T₃（4）后得到的數列；
（Ⅱ）根據新定義，計算經變換T₁（4）；T₂（2）；T₃（1），或T₁（2）；T₂（2）；T₃（2）；T₄（1），可得結論；
（Ⅲ）記經過T_k（c_k）變換后，數列為．取，，繼續做類似的變換，取，（k≤n-1），經T_k（c_k）后，得到數列的前k+1項相等，再取，經T_n（c_n）后，即可得到結論．
解答：（Ⅰ）解：T₁（2）：1，0，2，6；T₂（3）：2，3，1，3；T₃（4）：2，1，3，1．…（3分）
（Ⅱ）解：方法1：T₁（4）：3，1，1，3；T₂（2）：1，1，1，1；T₃（1）：0，0，0，0．
方法2：T₁（2）：1，1，3，5；T₂（2）：1，1，1，3；T₃（2）：1，1，1，1；T₄（1）：0，0，0，0．
…（6分）
（Ⅲ）證明：記經過T_k（c_k）變換后，數列為．
取，則，即經T₁（c₁）后，前兩項相等；
取，則，即經T₂（c₂）后，前3項相等；
繼續做類似的變換，取，（k≤n-1），經T_k（c_k）后，得到數列的前k+1項相等．特別地，當k=n-1時，各項都相等，最后，取，經T_n（c_n）后，數列各項均為0．所以必存在n次“歸零變換”．  …（13分）
點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的探究能力，難度較大．