Question

（1）已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求cos（β-γ）的值．
（2）若sinα+sinβ=

2

2

，求cosα+cosβ的取值范圍．

Answer 1

分析：1、分別由已知解出sinα和cosα，利用同角三角函數間的基本關系得到平方和為1，代入利用兩角差的余弦函數公式化簡可得cos（β-γ）；
2、可設t=cosα+cosβ，對已知和所設的兩邊平方相加得到（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=t²+

1

2

，化簡可得2cos（α-β）=t²-

3

2

，由余弦函數的值域得到關于t的不等式，求出t的解集即可．

解答：解：（1）sinβ+sinγ=-sinα，cosβ+cosγ=-cosα
（sinβ+sinγ）²+（cosβ+cosγ）²=1
2+2cos（β-γ）=1，cos（β-γ）=-

1

2

．

（2）令cosα+cosβ=t，則
（sinα+sinβ）²+（cosα+cosβ）²=t²+

1

2

2+2cos（α-β）=t²+

1

2

，2cos（α-β）=t²-

3

2

因為-2≤t²-

3

2

≤2，得到-

1

2

≤t²≤

7

2

，
所以-

14

2

≤t≤

14

2

點評：此題要求學生靈活運用同角三角函數公式及兩角和與差的余弦函數公式進行化簡求值．學生會根據第一問的思路解決第二問中的范圍是本題的突破點．