Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓過定點，且在軸上截得的弦長，設動圓圓心的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點作直線交曲線于兩點，問在曲線上是否存在一點，使得點在以為直徑的圓上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點滿足題設.

【解析】

（1）首先設圓心，作于點，由題知得到，化簡即可得到點的軌跡方程.

（2）首先設出直線方程，聯立拋物線方程得到，.假設存在，滿足題設，得到，計算即可得到點坐標.

（1）由題知：

設圓心，作于點.

由題知

所以，即點的軌跡拋物線.

（2）設直線方程為，，，

聯立得，，

，，.

，.

假設存在一點，滿足題設，則，.

，.

.

解得，代入，得到點滿足題意.

綜上：存在，使得點在以為直徑的圓上.