Question

【題目】已知在中，兩直角邊，的長分別為和，以的中點為原點，所在直線為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，橢圓以，為焦點，且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線：與相交于，兩點，在軸上是否存在點，使得為等邊三角形，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或

【解析】

（1）由題意，得到橢圓的定義求得的值，再結合的關系，求得，即可得到橢圓的標準方程；

（2）假設存在軸上存在點點，由題意聯立直線與橢圓的方程，利用根與系數的關系和中點坐標公式，求得點P的坐標，進而求出弦長，再根據C到弦AB的中點P的距離為弦長的倍，結合，求得C的坐標，進而求得的值.

（1）由題意，根據橢圓的定義，可得，

所以，又，

又，又焦點在x軸上，

故所求橢圓方程為.

（2）假設在軸上存在點，使得為正三角形.

設，線段AB的中點為，則.

又，整理得，

則，解得，

又

所以，

，

即，則，

令，則，即，，

所以，

解得，滿足條件

所以在軸上存在點，使得為正三角形.