【題目】如圖所示，在四棱柱
中，側棱
底面
，
平面
，
，
，
，
，
為棱
的中點.
（1）證明：
；
（2）求二面角
的平面角的正弦值；
（3）設點
在線段
上，且直線
與平面
所成角的正弦值為
，求線段的長.
【答案】（1）證明見解析；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）以
為原點，分別以
，
，
所在直線為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系，計算出
，可證明出
；
（2）計算出平面
和平面
的法向量
、
，然后利用空間向量法計算出二面角
的余弦定理，利用同角三角函數的基本關系可得出其正弦值；
（3）設
，計算出
，利用空間向量法并結合條件直線
與平面
所成角的正弦值為
，求出
的值，即可求出
.
（1）如圖所示，以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
依題意得
，
，
，
，
，
.
易得
，
，于是，所以；
（2）易得
.設平面的法向量為
，,
則
，
消去，得
，不妨取
，可得法向量
.
由（1）知，又
，可得
平面
，
故為平面的一個法向量.
于是
，從而
，
故二面角的平面角的正弦值為；
（3）易得
，
.
設
，
，則有
，
可取
為平面的一個法向量，
設
為直線與平面所成的角，
則
，
于是
（
舍去），則
，
所以
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中：
①若樣本數據
的方差為16，則數據
的方差為64；
②“平面向量
夾角為銳角，則
”的逆命題為真命題；
③命題“
，
”的否定是“
，
”；
④若：
，
，則
是
的充分不必要條件.
真命題的個數序號_________.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面
平面ABCD，
為等腰直角三角形，
，
，點E，F分別為BC，PD的中點，直線PC與平面AEF交于點Q.
（1）若平面
平面
，求證：
.
（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓C：
（
），
，
分別是橢圓C的左，右焦點，點D在橢圓上，且
，
，
的面積為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過的直線l與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點A，使
為常數？若存在，求出點A的坐標和這個常數；若不存在，請說明理由
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，底面
為平行四邊形，平面
平面，
是邊長為4的等邊三角形，
，
是
的中點.
（1）求證：
；
（2）若直線與平面
所成角的正弦值為
，求平面 與平面
所成的銳二面角的余弦值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
