Question

在平面直角坐標系中，已知定點F（1，0），點在軸上運動，點在軸上，點
為平面內的動點，且滿足，．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設點是直線：上任意一點，過點作軌跡的兩條切線，，切點分別為，，設切線，的斜率分別為，，直線的斜率為，求證：．

Answer 1

（1），（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）求動點軌跡方程，分四步。第一步，設所求動點坐標，設點，，．第二步，建立等量關系，由可知，點是的中點，所以即所以點，．所以，．由，可得，第三步，化簡等量關系，即．第四步，去雜或確定取值范圍，本題就是（2）證明三直線斜率關系，實質研究其坐標關系. 設點，則過點的直線，聯立方程，整理得．則，化簡得．所以．又，故．
【解】（1）設點，，．
由可知，點是的中點，
所以即所以點，．
所以，．       3分
由，可得，即．
所以動點的軌跡的方程為．     5分

（2）設點，
由于過點的直線與軌跡：相切，
聯立方程，整理得．    7分
則，
化簡得．
顯然，，是關于的方程的兩個根，所以．
又，故．
所以命題得證．                                           10分
考點：軌跡問題的求解方法、直線和拋物線方程的位置關系