Question

【題目】已知a為正的常數，函數f（x）=|ax﹣x2|+lnx．
（1）若a=2，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）設g（x）= ，求g（x）在區間[1，e]上的最小值．（e≈2.71828為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2時，f（x）=|ax﹣x2|+lnx= ，

當0＜x＜2時，f′（x）= ，

令f′（x）＞0時，解得0＜x≤ ，

當x≥2時，f′（x）= ，

令f′（x）＞0時，解得x≥2，

故函數的單調增區間是（0， ]，[2，+∞）

（2）解：g（x）=|x﹣a|+ = ，

當a≥e時，則g（x）=a﹣x+ ，g′（x）=﹣1﹣ + = ，

令h（x）=﹣x2+1﹣lnx，則h′（x）=﹣2x﹣ ＜0

∴h（x）在[1，e]上為減函數，則h（x）≤h（1）=0．

∴g（x）在[1，e]上為減函數，得g（x）min=g（e）=a﹣e+ ；

當a≤1時，∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1﹣lnx≥0，x2+1﹣lnx≥0，∴g′（x）＞0．

∴g（x）在[1，e]上為增函數，

∴g（x）min=g（1）=1﹣a．

當1＜a＜e時，g（x）在[1，a]上減，[a，e]上增，

g（x）min=g（a）=

綜上所述：

【解析】（1）把a=2代入函數解析式，由絕對值內的代數式等于0求得x的值，由解得的x的值把定義域分段，去絕對值后求導，利用導函數求每一段內的函數的增區間，則a=2時的函數的增區間可求；（2）把f（x）的解析式代入g（x）= ，利用a與1和e的大小比較去絕對值，然后求出去絕對值后的函數的導函數，利用函數的單調性求出函數在區間[1，e]上的最小值．最后把求得的函數的最小值寫成分段函數的形式即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．