【題目】如圖,直角三角形
所在的平面與半圓弧
所在平面相交于
,
，
,
分別為
,的中點, 
是上異于
,
的點, 
.
（1）證明:平面
平面
;
（2）若點為半圓弧上的一個三等分點(靠近點)求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）由直徑所對的圓周角為
，可知
，通過計算，利用勾股定理的逆定理可以判斷出
為直角三角形，所以有
.由已知可以證明出
，這樣利用線面垂直的判定定理可以證明
平面
，利用面面垂直的判定定理可以證明出平面
平面;
（2）以
為坐標原點，分別以垂直于平面向上的方向、向量
所在方向作為
軸、
軸、
軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系
，求出相應點的坐標，求出平面
的一個法向量和平面
的法向量，利用空間向量數量積運算公式，可以求出二面角
的余弦值.
解：（1）證明：因為
半圓弧
上的一點，所以.
在
中，
分別為
的中點，所以
，且
.
于是在
中， 
，
所以為直角三角形，且.
因為
，,所以
.
因為，，
，
所以平面.
又
平面
，所以平面平面.
（2）由已知
，以為坐標原點，分別以垂直于
、向量所在方向作為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
,
,
,
.
設平面的一個法向量為
,
則
即
，取
,得
.
設平面的法向量
,
則
即
，取
,得
.
所以
，
又二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.
核心素養學練評系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著經濟全球化、信息化的發展，企業之間的競爭從資源的爭奪轉向人才的競爭.吸引、留住培養和用好人才成為人力資源管理的戰略目標和緊迫任務.在此背景下，某信息網站在15個城市中對剛畢業的大學生的月平均收入薪資和月平均期望薪資做了調查，數據如圖所示.
（1）若某大學畢業生從這15座城市中隨機選擇一座城市就業，求該生選中月平均收人薪資高于8000元的城市的概率；
（2）若從月平均收入薪資與月平均期望薪資之差高于1000元的城市中隨機選擇2座城市，求這2座城市的月平均期望薪資都高于8000元或都低于8000元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率
，且圓
經過橢圓C的上、下頂點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓C相切，且與橢圓
相交于M，N兩點，證明：
的面積為定值（O為坐標原點）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在菱形
中，
，
為線段
的中點（如圖1）．將
沿
折起到
的位置，使得平面
平面
，
為線段
的中點（如圖2）．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）當四棱錐
的體積為
時，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校藝術專業300名學生參加某次測評，根據男女學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)從總體的300名學生中隨機抽取一人，估計其分數小于70的概率；
(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50)內的人數；
(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的男女生人數相等．試估計總體中男生和女生人數的比例．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asinB=bsin（A+
）．
（1）求A；
（2）若b，
a，c成等差數列，△ABC的面積為2
，求a．
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