Question

【題目】已知都是定義域為的連續函數．已知：滿足：①當時，恒成立；②都有．滿足：①都有；②當時，．若關于的不等式對恒成立，則的取值范圍是

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據條件可得函數g（x）的奇偶性和單調性，利用條件可得函數f（x）的周期性，將不等式進行轉化為求函數最值恒成立即可得到結論．

∵函數g（x）滿足：當x＞0時，g'（x）＞0恒成立且對任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），

∴函數g（x）為R上的偶函數且在[0，+∞）上為單調遞增函數，且有g|（x|）=g（x），

∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈恒成立|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定義域內|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，

由f（x+）=f（x﹣），得f（x+2）=f（x），

即函數f（x）的周期T=2，

∵x∈[﹣，]時，f（x）=x3﹣3x，

求導得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），該函數過點（﹣，0），（0，0），（，0），

且函數在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=2，

在x=1處取得極小值f（1）=﹣2，

即函數f（x）在R上的最大值為2，

∵x∈，函數的周期是2，

∴當x∈時，函數f（x）的最大值為2，

由2≤|a2﹣a+2|，即2≤a2﹣a+2，

則a2﹣a≥0，

解得：a≥1或a≤0．

故答案為：D