Question

【題目】如圖，四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形，設與相交于點，．

（1）證明：平面平面；

（2）若，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）要證面面垂直，需要找線面垂直，本題中重點分析線段，利用條件底面是菱形可得，通過全等可知，從而，故是平面的垂線，從而得證；（2）由知點到平面的距離為點到平面的距離的兩倍，所以，作，證明平面，利用三棱錐體積公式求解；也可證明平面，從而直接求高，計算體積．

試題解析：（1）證明：

連接，

∵四邊形為菱形，

∵，

在和中，

，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）解法一：連接，∵面平面，∴，

在平行四邊形中，易知，

∴，即，又因為為平面內的兩條相交直線，所以平面，所以點到平面的距離為，

∵，

∴三棱錐的體積為．

解法二：∵，∴點到平面的距離為點到平面的距離的兩倍，所以，

作，∵平面平面平面，

∴，

∴三棱錐的體積為．