Question

已知,函數.

（1）當時，畫出函數的大致圖像；

（2）當時，根據圖像寫出函數的單調減區間，并用定義證明你的結論；

（3）試討論關于x的方程解的個數.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）當a=2時， ，作出圖象；

（2）由（1）寫出函數y=f（x）的單調遞增區間，再根據單調性定義證明即可；

（3）由題意知方程的解得個數等價于函數的圖像與直線的交點個數.即函數的圖象與直線的交點個數.

試題解析：（1）如圖所示

3分

（2）單調遞減區間： 4分

證明：設任意的

5分

因為，所以

于是，即6分

所以函數在上是單調遞減函數 7分

(3) 由題意知方程的解得個數等價于函數的圖像與直線的交點個數.即函數的圖象與直線的交點個數

又，注意到，

當且僅當時，上式等號成立，借助圖像知 8分

所以，當時，函數的圖像與直線有1個交點； 9分

當，時，函數的圖像與直線有2個交點； 10分

當，時，函數的圖像與直線有3個交點；12分.

考點：1.絕對值的函數；2.函數的值域;3.函數的零點.