Question

【題目】已知函數f（x）=x2+bx+c，其中b，c∈R．

（1）當f（x）的圖象關于直線x=1對稱時，b=______；

（2）如果f（x）在區間[-1，1]不是單調函數，證明：對任意x∈R，都有f（x）＞c-1；

（3）如果f（x）在區間（0，1）上有兩個不同的零點．求c2+（1+b）c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-2 （2）證明見解析 （3）（0，）

【解析】

(1)求得f(x)的對稱軸，由題意可得b的方程，解方程可得b；

(2)由題意可得-1＜-＜1，即-2＜b＜2，運用f(x)的最小值，結合不等式的性質，即可得證；

(3)f(x)在區間(0，1)上有兩個不同的零點，設為r，s，(r≠s)，r，s∈(，1)，可設f(x)=(x-r)(x-s)，將c2+(1+b)c寫為f(0)f(1)，再改為r，s的式子，運用基本不等式即可得到所求范圍．

(1)函數f(x)=x2+bx+c的對稱軸為x=-，

由f(x)的圖象關于直線x=1對稱，

可得-=1，解得b=-2，

故答案為：-2．

(2)證明：由f(x)在[-1，1]上不單調，

可得-1＜-＜1，即-2＜b＜2，

對任意的x∈R，f(x)≥f(-)=-+c=c-，

由-2＜b＜2，可得f(x)≥c-＞c-1；

(3)f(x)在區間(0，1)上有兩個不同的零點，

設為r，s，(r≠s)，r，s∈(0，1)，

可設f(x)=(x-r)(x-s)，

由c2+(1+b)c=c(1+b+c)=f(0)f(1)=rs(1-r)(1-s)，

且0＜rs(1-r)(1-s)＜[]2[]2=，

則c2+(1+b)c∈(0/span>，)．