Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）記函數的導函數是，若不等式對任意的實數恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數，是函數的導函數，若函數存在兩個極值點，，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）根據導數的幾何意義即可求切線方程；

（2）先求導，則不等式對任意的實數恒成立，轉化為對任意實數恒成立，構造函數，，分類討論，即可求出的范圍；

（3）先求導，根據函數存在兩個極值點，可得，且，，再化簡可得到，構造，，求出函數的最值即可．

解：（1）當時，，其中，故.

，故.

所以函數在處的切線方程為，即.

（2）由，可得.

由題知，不等式對任意實數恒成立，

即對任意實數恒成立，

令，.故.

①若，則，在上單調遞增，，故符合題意.

②若，令，得（負舍）.

當時，，在上單調遞減，故，與題意矛盾，

所以不符題意.

綜上所述，實數的取值范圍.

（3）據題意，其中.

則.因為函數存在兩個極值點，，

所以，是方程的兩個不等的正根，

故得，且

所以

；

，

據可得，，

即，

又，故不等式可簡化為，

令，，則，

所以在上單調遞增，又，

所以不等式的解為.所以實數的取值范圍是.