Question

【題目】已知函數，其中e為自然對數的底數.

（1）討論函數的單調性；

（2）用表示中較大者，記函數.若函數在上恰有2個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（2）.

【解析】

（1）由題可得,結合的范圍判斷的正負,即可求解；

（2）結合導數及函數的零點的判定定理,分類討論進行求解

（1）,

①當時,,

∴函數在內單調遞增；

②當時,令,解得或,

當或時,,則單調遞增,

當時,,則單調遞減,

∴函數的單調遞增區間為和,單調遞減區間為

（2）（Ⅰ）當時,所以在上無零點；

（Ⅱ）當時,,

①若,即,則是的一個零點；

②若,即,則不是的零點

（Ⅲ）當時,,所以此時只需考慮函數在上零點的情況,因為,所以

①當時,在上單調遞增。又，所以

（ⅰ）當時,在上無零點；

（ⅱ）當時,,又,所以此時在上恰有一個零點；

②當時,令,得,由,得；由,得,所以在上單調遞減,在上單調遞增,

因為,,所以此時在上恰有一個零點,

綜上,