Question

【題目】如圖，三棱柱的各棱長均相等， 底面，E，F分別為棱的中點．

（1）過作平面α，使得直線BE//平面α，若平面α與直線交于點H，指出點H所在的位置，并說明理由；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由直線平面，利用線面平行的判定定理可得直線直線，又直線，可得四邊形是平行四邊形，則，即點為的中點；（2）取的中點，由于兩兩互相垂直，所以可以為軸建立如空間直角坐標系，分別根據向量垂直數量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（1）如圖所示，平面FHA1即為平面α，H點為線段BB1的中點．

理由如下：

因為直線BE//平面α，平面α∩平面AB1=A1H，直線BE平面AB1，

所以直線BE//直線A1H，又A1E//直線BH，

所以四邊形BEA1H是平行四邊形，則BH= A1E，

即H點為BB1的中點．

（2）如圖，取B1C1的中點Q，顯然FC，FQ，FA兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz如圖所示．

不妨設棱長為2，則H（-1，1，0），A1（0，2， ），

則， ，

設面FHA1的法向量，

則由得

令，得．

取平面BFH的一個法向量，

于是．

所以二面角的余弦值為．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的證明以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.