Question

當x=3時，不等式log_a（x²-x-2）＞log_a（4x-6）（a＞0且a≠1）成立，則此不等式的解集是

{x|2＜x＜4，x∈R}

．

Answer 1

分析：由已知中當x=3時，不等式log_a（x²-x-2）＞log_a（4x-6）（a＞0且a≠1）成立，根據函數單調性與底數的關系，可以判斷出a的范圍，進而結合對數式中真數必須大于0，及對數函數的單調性，可將原不等式化為一個關于x的整式不等式組，進而解得答案．

解答：解：∵當x=3時，x²-x-2=4＜4x-6=6
而此時不等式log_a（x²-x-2）＞log_a（4x-6）成立
故函數y=log_ax為減函數，則0＜a＜1
若log_a（x²-x-2）＞log_a（4x-6）
則

x2-x-2＞0 4x-6＞0 x2-x-2＜4x-6

即

x＜-1，或x＞2 x＞ 3 2 1＜x＜4

解得2＜x＜4
故不等式log_a（x²-x-2）＞log_a（4x-6）的解集為{x|2＜x＜4，x∈R}
故答案為{x|2＜x＜4，x∈R}

點評：本題考查的知識點是對數函數圖象與性質，其中根據對數式中真數必須大于0，及對數函數的單調性，將原不等式化為一個關于x的整式不等式組，是解答本題的關鍵，解答中易忽略真數大于0，而錯解為{x|1＜x＜4，x∈R}