Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的一邊AB在x軸上，另一邊CD在x軸上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．

（1）若A、B為橢圓的焦點，且橢圓經過C、D兩點，求該橢圓的方程；
（2）若A、B為雙曲線的焦點，且雙曲線經過C、D兩點，求雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A、B為橢圓的焦點，且橢圓經過C、D兩點，

根據橢圓的定義：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，

∴a=8，…4分

在橢圓中：b2=a2﹣c2=64﹣16=48，

∴橢圓方程為： ；

（2）解：∵A、B為雙曲線的焦點，且雙曲線經過C、D兩點，

根據雙曲線的定義：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，

∴a′=2，…10分

在雙曲線中：b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，

∴雙曲線方程為： ．

【解析】（1）由橢圓的定義：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，則b2=a2﹣c2=64﹣16=48，即可求得橢圓方程；（2）根據雙曲線的定義：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，則求得a′=2，則b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，即可求得雙曲線的標準方程．