Question

已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中P'，P''，P''分別是該幾何體的一個頂點P在三個投影面上的投影，A'，B'，C'，D'分別是另四個頂點A，B，C，D的投影．
（I）從①②兩個圖中選擇出該幾何體的直觀圖；
（II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（III）設平面PAD與平面ABC的交線為l，求二面角A-l-B的大小．

Answer 1

分析：（I）觀察三視圖及兩個直觀圖，易知該幾何體對應的直觀圖是①；
（II）由直觀圖知，此幾何體中有同一點出發的三條兩兩垂直的射線，故可建立如圖的空間坐標系，利用空間向量求線面角，由圖知，平面平面PBC的一個法向量易知，求出直線PA的方向向量，由公式計算線面角即可；
（III）由（II）中的空間坐標系，平面PBC的一個法向量已知，設

n

=(x，y，z)為平面PAD的一個法向量求出

n

，再由公式求出兩個二面角的夾角；

解答：解：（I）由三視圖知此幾何體是一個四棱錐，且側面PBC⊥底面ABCD，考察兩個直觀圖，圖①符合實物圖的特征，故①為該幾何體的直觀圖；
（II）依題意，平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABC=BC，取BC中點O連接PO，則PO⊥BC，PO⊥底面ABCD，取AD中點M，則OM⊥BC，如圖建立空間坐標系O-XYZ，P（0，0，2），A（2，1，0），

PA

=(2，1，-2)
又平面PBC的一個法向量為

m

=(1，0，0)，cos＜

PA

，

m

＞=

PA • m

| PA || m |

=

2

3

，
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為

2

3

．…9 分
（Ⅲ）∵D（2，-1，0），

DA

=(0，2，0)，

PA

=(2，1，-2)，
設

n

=(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，則

2y=0 2x+y-2z=0

，取

n

=(1，0，1)
 cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

∴二面角A-l-B的大小為45°．…13分

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何證明題，解題的關鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，向量中的方程與立體幾何中位置關系的對應，如數量積為0與垂直的對應，向量的共線與平行的對應，向量夾角與線線角，線面角，面面角的對應，本題考查了數形結合的思想，轉化的思想，方程的思想，考查了待定系數建立方程的技巧，用向量解決立體幾何問題的方法，本題知識性綜合性強，考查空間想像能力，推理判斷能力及轉化的能力