Question

已知圓C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的兩條直線l₁、l₂都過點A（a，0）．
（Ⅰ）若l₁、l₂都和圓C相切，求直線l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）當a=2時，若圓心為M（1，m）的圓和圓C外切且與直線l₁、l₂都相切，求圓M的方程；
（Ⅲ）當a=-1時，求l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得l₁，l₂的斜率都存在，設，則，由此能夠求出直線l₁、l₂的方程．
（2）設圓的半徑為r，則解得，由此能得到所求圓M的方程．
（3）當a=-1時，l₁、l₂被圓C所截得弦的中點分別是E、F，當a=-1時，l₁、l₂被圓C所截得弦長分別是d₁、d₂；圓心為B，則AEBF為矩形，所以BE²+BF²=AB²=1，由此能夠求出l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值．
解答：解：（1）根據題意得l₁，l₂的斜率都存在，設（1分）
則（6分）
（2）設圓的半徑為r，則解得
所以所求圓M的方程為（11分）
（3）當a=-1時，l₁、l₂被圓C所截得弦的中點分別是E、F，當a=-1時，l₁、l₂被圓C所截得弦長分別是d₁、d₂；圓心為B，則AEBF為矩形，
所以BE²+BF²=AB²=1，即∴d₁²+d₂²=28，（14分）
所以
即l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值（16分）
點評：本題考查直線和圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理選用．