Question

【題目】已知、是橢圓：的左右焦點，焦距為6，橢圓上存在點使得，且的面積為9.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）過的直線與橢圓相交于，兩點，直線與軸不重合，是軸上一點，且，求點縱坐標的取值集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由已知列方程組，解出a，再由確定橢圓方程.

（Ⅱ）取MN的中點T，由，化為,即P為直線MN的垂直平分線與y軸的交點.先求MN斜率不存在時P的縱坐標；當MN斜率存在時設MN：，代入橢圓方程，利用韋達定理求MN的中點T的坐標，建立PT的方程，可求P的縱坐標與k的關系式，再利用基本不等式進行求解.

解：（Ⅰ）由題意得：

，

，

∴，

，

∴，又，∴，

∴的方程為.

（Ⅱ）設的坐標為，的中點為，

當的斜率存在時,則，的方程為.

由題意知：，

∴，

設，，

∴，

∴，∴，

∴，

∴，∴.

當時，，∴，

當時，，∴.

當的斜率不存在時，，

∴.

∴的縱坐標的取值集合為：.