Question

【題目】如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現計劃種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植甲水果的經濟價值是種植乙水果經濟價值的5倍，但種植甲水果需要有輔助光照．半圓周上的處恰有一可旋轉光源滿足甲水果生長的需要，該光源照射范圍是,點在直徑上，且．

（1）若米，求的長；

（2）設, 求該空地產生最大經濟價值時種植甲種水果的面積．

Answer 1

【答案】（1）1或3（2）

【解析】試題分析：（1）利用余弦定理即可求得；（2）設，由正弦定理求得,利用，計算面積，求出最大值，即可求該空地產生最大經濟價值時種植甲種水果的面積．

試題解析：

解：（1）連結，已知點在以為直徑的半圓周上，所以為直角三角形，

因為，，所以，，

在中由余弦定理，且，

所以，

解得或，

（2）因為，，

所以，

所以，

在中由正弦定理得：

所以，

在中，由正弦定理得：

所以，

若產生最大經濟效益，則的面積最大，

，

因為，所以

所以當時，取最大值為，此時該地塊產生的經濟價值最大．