Question

【題目】如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,,,.

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)若平面 平面,,求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】分析：第一問要證明的是線線垂直，在做題的過程中，需要用到平面四邊形中平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理得到線線垂直，之后應(yīng)用線面垂直的判定定理得到線面垂直，之后應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)，得到線線垂直；第二問利用題中的條件，得到相應(yīng)的垂直關(guān)系，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求得二面角的余弦值.

詳解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接

為等邊三角形

且

又

四邊形為矩形

, 平面

又 平面，

(Ⅱ)由（Ⅰ）知

平面平面，平面平面，平面

平面,

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)則

, ,

又，得,

,,

,

設(shè)平面法向量

由,得，取，得

又知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)

二面角的余弦值為.